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Teoria do Caos

Publicado: agosto 26, 2008 em Ciência, Curiosidades, matemática, Pessoal


Símbolo da teoria do caos

A teoria estabelece que uma pequena mudança ocorrida no início de um evento qualquer pode ter conseqüências desconhecidas no futuro. Isto é, se você realizar uma ação nesse exato momento, essa terá um resultado amanhã, embora desconhecido. O meteorologista norte-americano Edward Lorenz descobriu, no início da década de 1960, que acontecimentos simples tinham um comportamento tão desordenado quanto à vida. Ele chegou a essa conclusão após testar um programa de computador que simulava o movimento de massas de ar.

Em busca de uma resposta Lorenz teclou um dos números que alimentavam os cálculos da máquina com algumas casas decimais a menos, na expectativa de que o resultado tivesse poucas mudanças. No entanto, a pequena alteração transformou completamente o padrão das massas de ar. Segundo ele seria como se o bater das asas de uma borboleta no Brasil causasse, tempos depois, um tornado no Texas. Fundamentado em seus estudos, ele formulou equações que demonstravam o “efeito borboleta”. Origina-se assim a Teoria do Caos. Alguns cientistas concluíram também que a mesma imprevisibilidade aparecia em quase tudo, do número de vezes que o olho pisca até a cotação da Bolsa de Valores. Para reforçar essa teoria, na década de 1970 o matemático polonês Benoit Mandelbrot notou que as equações de Lorenz coincidiram com as que ele próprio havia feito quando desenvolveu os fractais (figuras geradas a partir de fórmulas que retratam matematicamente a geometria da natureza, como o relevo do colo, etc.). A junção do experimento de Lorenz com a matemática de Mandelbrot indica que a Teoria do Caos está na essência de tudo, dando forma ao universo.

Por Eliene Percília
Equipe Brasil Escola

Derivada

Publicado: dezembro 18, 2007 em matemática

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada.

A operação inversa da derivada é a Primitiva. Daí podermos afirmar logicamente que uma das primitivas da derivada de uma função tem como resultado a própria função. Pf'(x)=f(x) + C , em que C=Constante.

Exemplo:

Sendo f(x)=2x+12, temos que f ‘ (x)=2 e P f'(x)=2x + K .

As Primitivas de f'(x) são o conjunto: { f(x): f(x)=2x + K , K real }= {..2x + 1.., 2x + 1/2,..2x + 0..,2x + 1/3,..2x + 12..}

A derivada de uma função num ponto é definida como o limite da taxa média de variação da função em relação ao argumento da própria função. A derivada duma função num ponto fornece o declive da recta tangente a f(x) nesse ponto x. Isto corresponde à inclinação da tangente à função no ponto indicado; a inclinação da tangente pode ser aproximada por uma secante. As derivadas também podem ser usadas para calcular concavidades de funções.

A derivada de uma função não existe nos pontos em que a função possua uma tangente vertical. Este ponto O é chamado de ponto de descontinuidade.

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Diferenciação e Diferenciabilidade

A derivada de uma função pode ser escrita de várias formas. Por exemplo:

\frac{}{} f^{'}(x) (lê-se éfe linha de xis)

ou

\frac{df}{dx}(x) (lê-se dê éfe dê xis de xis)

ou

\frac{d}{dx} f(x) (lê-se dê dê xis de éfe de xis)

ou

\frac{}{} D_{x} f(x) (lê-se Dê xis de éfe de xis).

Os últimos três símbolos são úteis para se considerar a diferenciação como um operador, e estes símbolos são conhecidos como Operador diferencial.

Uma função é diferenciável em um ponto x se sua derivada existe e é finita naquele ponto; uma função é diferenciável em um intervalo se a derivada existe e é finita para cada x dentro do intervalo. Se uma função não é contínua em c, então não existe uma inclinação definida em c e, portanto, a função não é diferenciável em c; Mesmo para uma função contínua em c, pode ocorrer dela não ser diferenciável em c. Por exemplo, considere o ponto c como o ponto no vértice de um triângulo. Neste ponto existem duas inclinações possíveis, à direita ou à esquerda. Portando a derivada é ambígua e não pode existir. Em suma, se uma função é diferenciável num ponto, ela é contínua nesse ponto; reciprocamente não se pode afirmar o mesmo.

Existem varias regras e meios de diferenciação (Derivada)

  • A regra da constante;
  • Regra simples da potência;
  • Regra do múltiplo constante;
  • Regra da soma e da diferença;
  • Regra do Produto;
  • Regra do quociente;
  • Regra da Cadeia
  • Decomposição de funções compostas;
  • Derivadas de ordem superior;
  • Derivadas de funções exponenciais;
  • Diferenciação implícita;
  • Derivadas de funções logarítmicas; (Propriedades operatórias dos logaritmos).
  • Derivada de funções trigonométricas;
  • Derivadas parciais de ordem superior;

Quociente de Newton

 

Inclinação da secante à curva de f(x)

 

Inclinação da secante à curva de f(x)

A derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com f(x) convergem para um mesmo ponto. Neste limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

 

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

 

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

Essa idéia é expressa no quociente de Newton; onde h, isto é Δx, é a distância entre os pontos de intersecção da secante no eixo de coordenada x:

f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Suponha que se queira encontrar a derivada de uma função f(x), em x. Se aumentamos x em uma quantidade pequena, Δx, pode-se calcular f(x + Δx). Uma aproximação da inclinação da tangente à curva é dada por (f(x + Δx) – f(x)) / Δx, que é uma forma de dizer: a mudança de f dividida pela mudança em x. Quanto menor Δx ficar, melhor a aproximação será. Matematicamente, se define a derivada como sendo o limite da razão acima quando Δx tende a zero.

Como a substituição simples de Δx por 0 resulta em divisão por zero, o numerador deve ser simplificado de tal forma que Δx possa ser fatorado e então cancelado com o denominador. A função resultante, f ‘(x), é a derivada de f(x).

Derivadas de maior ordem

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a derivada segunda da função f(x). De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir à derivadas subsequentes de f por:

\frac{df}{dx},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right),\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\right)

e assim por diante.

Às vezes para se simplificar a notação, as seguintes opções são freqüentemente utilizadas:

\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3}

ou alternativamente,

f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)

ou

f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)

Pontos críticos ou estacionários

Ver artigo principal: Ponto crítico

Pontos onde a derivada da função é igual a zero chamam-se normalmente de pontos críticos ou estacionários e são muito importantes. Existem três tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual à tangente em um dado ponto e a tangente do ângulo zero é zero, estes pontos acontecem onde a inclinação da reta é paralela ao eixo x. Estes pontos podem acontecer onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados pontos de máximo da função, ou onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamado de ponto de mínimo. Eles também podem ocorrer em pontos de inflexão da função. Pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x) = x3, no ponto x=0 a função tem um ponto de inflexão.

Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também a segunda derivada de f(x):

  • Se derivada segunda de f(x) é positiva no ponto onde a derivada primeira é nula, então o ponto é um mínimo local.
  • Se a derivada segunda for negativa, o ponto em questão é um máximo local
  • E se a derivada segunda também for nula, o ponto é um ponto de inflexão.

Derivadas notáveis

Física

Uma das mais importantes aplicações do cálculo à Física (senão a mais importante), é o conceito de “derivada temporal” — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessário para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição de um objecto são importantes na física newtoniana:

  • Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior ao cálculo) é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
  • Aceleração é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.
  • Safanão ou impulso é a derivada (com respeito ao tempo) da aceleração de um objecto.

Isso porque:

v(t) = ds(t) / dt
a(t) = dv(t) / dt = d(ds(t) / dt) / dt = d2s(t) / dt2
i(t) = da(t) / dt = d3s(t) / dt3

  • Para a força resultante, por exemplo. Uma forma de definir a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear da partícula.

Apesar da “derivada tempo” poder ser escrita como “d/dt”, também tem uma notação especial: um ponto colocado sobre o símbolo do objecto cuja derivada é tirada. Esta notação deve-se a Newton, foi a sua maneira original de escrever fluxões. (Notar que ela foi abandonada na maioria das outras situações em favor da notação de Leibniz, que usa d/dx).

Por exemplo, se a posição de um objecto é p(t) = – 16t2 + 16t + 32; então, a velocidade do objecto é p‘(t) = – 32t + 16; a aceleração do objecto é p”(t) = – 32; e o impulso do objecto é p”'(t) = 0.

Se a velocidade de um automóvel é dada como função do tempo, então a derivada dessa função em relação ao tempo descreve a aceleração desse automóvel, como função do tempo.

Manipulação algébrica

Complexos cálculos de limites podem ser evitados, em certos casos, com recurso a regras de derivação que nos permitem encontrar derivadas por via de manipulação algébrica, em vez da aplicação directa do quociente de diferença de Newton. Não devemos concluir que a definição de derivadas em termos de limites seja desnecessária. Pelo contrário, essa definição é o meio de “provar” as seguintes “regras de diferenciação potente”; estas regras são originadas do quociente de diferença:

  • Regra da Constante: A derivada de qualquer função constante é zero.
    • Regra do múltiplo da constante: Se c é um número real; então, a derivada de cf(x) é igual a c multiplicado pela derivada de f(x) (uma consequencia da linearidade abaixo)
  • Linearidade: (af + bg)’ = af‘ + bg para todas as funções f e g e todos os números reais a e b.
  • Regra da potência Geral (Regra Polinomial): Se f(x) = xr, para qualquer número real r; f‘(x) = rxr – 1.
  • Regra do produto: (fg)’ = fg‘ + gf para todas as funções f e g.
  • Regra do quociente: (f / g)’ = (gf‘ − fg‘) / (g2) se g \ne 0.
  • Regra da cadeia: Se f(x) = h(g(x)), então f‘(x) = h‘[g(x)] * g‘(x) Generalizando: dy / dx = (dy / du)(du / dx) para g(x) = u
  • Funções inversa e diferenciação: Se y = f(x), x = f – 1(y), e f(x) e sua inversa são diferenciáveis, então para casos nos quais \Delta x \ne 0 quando \Delta y \ne 0, dy / dx = 1 / (dx / dy)
  • Derivada de uma variável em relação à outra quando ambas são funções de uma terceira variável: Seja x = f(t) e y = g(t). Então Δy / Δx = (Δy / Δt) / (Δx / Δt)
  • Diferenciação Implícita: Se f(x,y) = 0 é uma função implícita, temos: dy/dx = – (∂f / ∂x) / (∂f / ∂y).

Para além disso, é útil conhecer as derivadas de algumas funções. Por exemplo, a derivada de:

f(x) = 2x^4 + \sin (x^2) - \ln (x)\;e^x + 7

é

f'(x) = 8x^3 + 2x\cos (x^2) - 1/x\;e^x - ln (x)\;e^x.

Usando derivadas para desenhar gráficos de funções

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os “pontos críticos” são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).

Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função quando todas menos uma variável são mantidas constantes temporariamente, próximo de um ponto. Derivadas parciais são representadas como ∂/∂x (onde ∂ é um ‘d’ arredondado conhecido como ‘símbolo da derivada parcial’). Matemáticos tendem a falar do símbolo da derivada parcial como ‘del’ em vez de ‘de’, usado para o símbolo padrão da derivada, ‘d’.

O conceito da derivada pode ser estendido de forma mais geral. O que há em comum é que a derivada num determinado ponto serve como uma aproximação linear da função nesse ponto. Talvez a situação mais natural é que entre as várias diferenciáveis, a derivada num certo ponto torna-se uma transformação linear entre o correspondente espaço tangente e a função derivada torna-se um mapa entre feixes tangentes.

Por forma a diferenciar todas as funções contínuas e muitas outras, definimos o conceito da distribuição.

Para a diferenciação de funções complexas de uma variável complexa ver também função Holomórfica.

Referências

Ligações externas

 

Obtido em “http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada

História da Derivada

Publicado: dezembro 12, 2007 em matemática

 

A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias.

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado.  Euclides (cerca de 300 a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é perpendicular ao raio em P.  Arquimedes (287–212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a tangente à sua espiral e  Apolônio (cerca de 262–190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.) se apóiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na Física de Aristóteles (384–322 B.C.), os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine (1295–1349) e seus colegas em Merton College, Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar algumas das idéias de Aristóteles sobre movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de velocidade instantânea tornou-se mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de variação) da distância em relação ao tempo.

Foi Galileu Galilei (1564–1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta indispensável para  estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem… O livro está escrito em linguagem matemática …” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração. Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas.

O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo, Pierre Fermat (1601–1665) foi o primeiro a considerar a idéia de uma família inteira de curvas de uma só vez.  Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma  y = kxn, onde k é constante e n = 2, 3, 4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de curvas contribuiu significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio algébrico que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvérsias espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para determinar os pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.

René Descartes (1596–1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, em sua Geometria,  escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral da geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer.” Descartes inventou um procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva. Como resultado da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615–1661) e as explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601–1652) e Johan Hudde (1628-1704), os princípios  e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos máximos e mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqüência de etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva; veremos que isto requer a derivada segunda. René François de Sluse (1622–1685) desenvolveu uma técnica algébrica que levou à inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia grande correspondência entre Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de várias curvas algébricas; Hudde e Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples e padronizados que poderiam ser aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602–1675), uma curva era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um método mecânico para encontrar a tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o método de Roberval não podia ser generalizado para incluir mais curvas.

Isaac Newton (1642–1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primeiro esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangentes e fenômenos relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da versão de Hudde do procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a curvatura de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada segunda. Em 1666, 1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre cálculo não foram publicados até 1736 e 1745.

Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) desenvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em fundamentações matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e a notação para derivada no seu famoso artigo “New methods for maximums and minimums, as well as tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for them” (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são impedidos por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684.

Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.

Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888–1972) observou, cálculo tem sido “uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a um dos episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e Newton, e mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada um fez contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à matemática feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos e cientistas na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram à xenofobia nacionalista por mais de um século.

O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas,1696) pelo Marquês de l’Hospital (1661–1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido à Johann Bernoulli (1667–1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e outras análises de curvas. Mas o método de l’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann lideraram o caminho para espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas desafiadores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo era necessário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram estes problemas. Este problemas e outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do cálculo das variações, novos campos da matemática dependentes de cálculo.

Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions,1737) de Thomas Simpson (1710–1761) forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685–1753) publicou The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para seus flúxions. Berkeley reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas aplicações abrangentes em física e astronomia, mas criticou as “quantidades infinitamente pequenas” e os “incrementos imperceptíveis” dos fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698–1746) tentou defender Newton no seu Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e desenvolveu derivadas para funções logarítmicas e exponenciais e expandiu as fórmulas de Simpson para incluir as derivadas das funções tangente e secante.

No continente, Maria Agnesi (1718–1799) seguiu Leibniz e L’Hospital no seu livro de cálculo Analytical Institutions (Instituições Analíticas,1748). Leonhard Euler (1707–1783) deu um passo importante na direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to the Analysis of the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no lugar de curvas) como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam aplicadas. Por função, Euler queria dizer algum tipo de “expressão analítica”; sua concepção não era tão abrangente como a nossa definição moderna. Na sua publicação, também introduziu o termo análise como um nome moderno para cálculo e a matemática avançada relacionada. No seu Methods of Differential Calculus (Métodos de Cálculo Diferencial,1755), Euler definiu a derivada como “o método para determinar as razões entre os incrementos imperceptíveis, as quais as funções recebem, e os incrementos imperceptíveis das quantidades variáveis, das quais elas são funções”, que soa não muito científico hoje em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu equações diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos. Em 1754, na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d’Alembert (1717–1783) afirmou que a “definição mais precisa e elegante possível do cálculo diferencial” é que a derivada é o limite de certas razões quando os numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas expressões algébricas que chamamos de derivada.

No final do século 18, Joseph Louis Lagrange (1736–1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo mais rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funções Analíticas,1797). Lagrange pretendia dar uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d’Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são verdadeiras.

Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy (1789–1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons given at l’Ecole Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola Politécnica Sobre o Cálculo Infinitesimal,1823), Cauchy afirmou que a derivada é:

O limite de [f(x + i) – f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve como o limite da razão [f(x + i) – f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y = f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.

Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia. De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e moderna do cálculo. 

 

Tire algumas dúvidas sobre frações

Publicado: outubro 26, 2007 em matemática

Frações de frações

Definição:
– Fração de fração é uma ou mais partes de uma fração.

Regra – Para se calcular uma fração, basta fazer a multiplicação das frações.


Redução de fração

Reduzir inteiros a fração imprópria

Regra – Para se reduzir um número inteiro a fração imprópria de denominador conhecido, multiplica-se o número inteiro pelo denominador e escreve-se a fração cujo numerador é o produto obtido e o denominador é o denominador dado.
Seja reduzir 8 inteiros a quartos.
Um inteiro vale 4 quartos: 8 inteiros valerão 8 vezes 4 quartos ou 32/4.

Reduzir um número misto a fração imprópria

Regra – Para se reduzir um número misto a fração imprópria, multiplica-se o número inteiro pelo denominados da fração, e junta-se ao produto o numerador da fração. A soma é o numerador da fração imprópria equivalente procurada; o denominador é o do número misto.
Vamos reduzir o número misto 54/7 a fração imprópria.
Segundo a regra temos o resultado 39/7.

Extrair inteiros de uma fração imprópria

Regra – Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, divide-se o numerador pelo denominador; o quociente dá os inteiros. O resto, se houver, é o numerador de uma fração que tem, como denominador, o denominador da fração imprópria

Vamos extrair os inteiros da fração imprópria 26/9.
Efetuando-se a divisão, obtém-se o quociente 2 e o resto 8, que é o numerador de uma fração cujo denominador é 9.
A fração imprópria 26/9 contém, pois, 2 inteiros e 8/9.

Simplificar frações

– Simplificar uma fração é representá-la por termos menores, sem lhe alterar o valor.
Simplificam-se as frações para se reconhecer mais facilmente o seu valo e facilitar os cálculos.
A simplificação de frações baseia-se no princípio já visto: Pode-se dividir os dois termos de uma fração por um mesmo número sem lhe alterar o valor.

Reduzir uma fração à mais simples expressão

– Reduzir uma fração à mais simples expressão, é representá-la pelos menores números possíveis.
Obtém-se este resultado, dividindo-se sucessivamente os dois termos da fração por todos por divisores que lhes são comuns:

Na fração 900/1 260.
Os dois termos terminados por zero podem ser divididos por 10, e a fração torna-se 90/126.
Os dois termos desta nova fração são depois divididos por 9. Efetuando-se a operação, obtém-se 10/14, cujos termos, 5 e 7. São primos entre si.

A mais simples expressão da fração 900/1260 é a fração 5/7.
Abrevia-se consideravelmente os cálculos da simplificação, dividindo-se logo os dois termos por seu máximo divisor comum.

Assim o m.d.c. dos dois termos da fração 900/1260 é 180; temos assim a mais simples desta fração:
900/180 = 5
1260/180 = 7

Simplificar frações impróprias ou expressões fracionárias

– Pode-se começar por extrair os inteiros da fração imprópria e, em seguida, pelos processos ordinários, simplificar a nova fração, se existir.
Vamos simplificar a fração imprópria 84/15.
Extraindo os inteiros, temos: 5 inteiros e 9/15. Simplificando 9/15, temos para resultado final: 5 inteiros e 3/5.

Noção Intuitiva de limite principal

Publicado: outubro 26, 2007 em matemática

Aplicação

5. Infinito
É muito freqüente, na resolução envolvendo limites, o aparecimento do símbolo . Deve, no entanto, ficar claro que não é um número, e sim uma idéia associada a uma tendência, ou seja; é um símbolo utilizado para representar a tendência a um “número” muito grande.

Aplicação

Intuitivamente:

À medida que x se aproxima de a, a imagem da função tende “a número muito grande”.

Algebricamente:

É claro que esta igualdade só tem sentido quando aplicada ao desenvolvimento algébrico de limites.

Símbolos de indeterminação

Os seguintes símbolos, no estudo de limites, representam indeterminações que devem ser levantadas na resolução de limites:

0/0; /; – ; .0; 0; 00; 1

Limite Exponencial

Publicado: outubro 26, 2007 em matemática

10. Limite Exponencial 

Dada a função ,à medida que x tende ao infinito, a imagem de f tende ao número 2,7182818….., também conhecido por número de Euler, ou seja x , então f(x) 2,7182818….. O número 2,7182818…. é um número irracional, que é a base dos logaritmos neperianos. Sua representação é a letra e, ou seja, e = 2, 7182818…

Variação de uma Função

Publicado: outubro 26, 2007 em matemática

Aplicação

Variação de uma Função

Ao introduzirmos o conceito sobre derivadas, observamos a interpretação geométrica do valor da derivada de uma função em um ponto: coeficiente angular da reta tangente neste ponto.

A partir dessa interpretação geométrica, podemos analisar a variação de uma função quanto ao seu crescimento.

1. Função Constante

y = k →y’= 0

2. Função Crescente
y = ax + b→ y’= a, para a > 0º

3. Função Decrescente

y = ax + b→ y’= a, para a < 0º

Conclusão:

a) Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto, e f’(x) > 0 para todo x neste intervalo, então a função é crescente (no intervalo).

b) Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto, e f’(x) < 0 para todo x neste intervalo, então a função é decrescente (no intervalo).

c) Se a função f é derivável em um certo intervalo aberto, e f’(x) = 0 para todo x neste intervalo, então a função é constante (no intervalo).

Concavidade de uma Função

A concavidade da curva de uma função f pode ser determinada pelo sinal da derivada de segunda ordem de f, ou seja, f’(x)>0 concavidade voltada para cima.

f’(x)<0 →concavidade voltada para baixo.

(Num certo intervalo aberto).